普通nim游戏：

n堆石子，每个人每次对着一堆拿若干个。不能拿者判输。

只有两种情况，先手必胜，先手必败。

先手必胜当且仅当:a1^a2^...^an!=0

证明：

设=x（x不为0），选择最高位和x一样的ai，显然有ai^x<ai

 

阶梯型nim游戏

阶梯型nim游戏：高度单调的阶梯。每次只能把a[i]中选择x个，放到a[i-1]中，或者把a[1]中扔掉若干个。问有无先手必胜策略。

等价于对奇数堆做nim游戏。

第一次先手，就把奇数堆按照必胜策略移动。偶数堆不管，当做垃圾桶。

如果后手移动奇数堆到偶数堆，就按照奇数堆必胜策略移动。

反之，就把后手移动过来x的奇数堆再往前移动x个。对于奇数堆的状态不变。早晚会把偶数堆移动完。

所以，等价。

 

反向nim游戏

有 N 堆石子，每次可从一堆石子中拿走任意数量的石子。

两个人轮流拿，谁不能拿谁赢。

上面的必胜和必败都是基于“无法操作者败”这个规则来解释的。

若某组合游戏的胜利条件是“无法操作者胜”的话，必胜态必须满足二者之一：

SG异或和>0且石子数>1的堆数>0

SG异或和=0且石子数>1的堆数=0

 证明。。。

 

Nim-K 游戏

有 N 堆石子，每次可从 K 堆石子中拿走任意数量的石子。

两个人轮流拿，谁不能拿谁输。

证明：

数学归纳法

1.没有石子的时候，一定全部为0

2.如果当前全部为0，最多某一位1的个数变化k个，一定不会全部为0

3.如果当前不全为0，从高位开始往低位找，

　　如果某一位1的个数为b，之前已经动过的堆数为c，先用c个动过的堆来调整，让b变成0或者k+1，不够用，就从剩下的b的堆把1删去（大概就是先都往0凑，加上新选择的堆还不行的话，那么一定可以直接凑出k+1，直接用c个原来的堆往k+1凑）

　　删去1的堆一定已经取走，所以后面就可以随便0->1或者1->0了，加入那c个。如果能操作k个，那么一定可以随心所欲了。

证毕。

 

小例题：

两人之间的距离就是石子数量。都撞上了以后，谁撤，对面立刻怼上去。